Bonjour pouvez-vous m’aider à faire ce dm svp ( que l’exercice 2)

Réponse :

ex.2

- calculer les trois premiers termes

- déterminer leur sens de variations en justifiant à l'aide de la méthode de votre choix

1) {V0 = 100

  {Vn+1 = 0.1 x Vn

V1 = 0.1 x V0 = 0.1 x 100 = 10

V2 = 0.1 x V1 = 0.1 x 10 = 1

V3 = 0.1 x V2 = 0.1 x 1 = 0.1

comme Vn ≥ 0  donc on compare Vn+1/Vn à 1

or Vn+1/Vn = 0.1 x Vn/Vn = 0.1  < 1   donc la suite (Vn) est décroissante sur N

2) Wn = 15/10ⁿ

 W0 = 15/10⁰ = 15

 W1 = 15/10¹ = 1.5

 W2 = 15/10² = 0.15

comme les termes de la suite Wn  sont positifs  on compare donc

Wn+1/Wn  et 1

Wn+1/Wn = 15/10ⁿ⁺¹/15/10ⁿ = 15 x 10ⁿ/15 x 10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ/10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ/10 x 10ⁿ = 1/10

Wn+1/Wn = 1/10  < 1   donc la suite (Wn) est décroissante sur N

3) pn = 5 x 1.1²ⁿ

p0 = 5 x 1.1⁰ = 5

p1 = 5 x 1.1¹ = 5.5

p2 = 5 x 1.1² = 6.05

pn+1/pn = 5 x 1.1ⁿ⁺¹/5 x 1.1ⁿ = 5 x 1.1ⁿ x 1.1/5 x 1.1ⁿ = 1.1

pn+1/pn = 1.1 > 1   donc la suite (pn) est croissante sur N

4) {U0 = - 5

   {Un+1 = U²n

U1 = U²0 = (- 5)² = 25

U2 = U²1 = 25² = 625

U3 = U²2 = 625² = 390625

soit  Un+1 = f(Un)    donc  f(x) = x²   définie  sur [0 ; + ∞[

f est dérivable sur [0 ; + ∞[  et sa dérivée  f '(x) = 2 x

comme x ≥ 0  on a;  2 x ≥ 0 donc  f '(x) ≥ 0  donc  f est croissante sur [0 ; + ∞[   alors  (Un) est croissante sur N

5) {U0 = 0.4

   {Un+1 = Un  -  n²/(n+3)

U1 = U0 - 0²/(0+3) = 0.4

U2 = U1 -  1²/(1+3) = 0.4 - 1/4 = 0.15

U3 = U2 -  2²/(2+3) = 0.15 - 4/5 = - 0.65

Un+1 - Un = - n²/(n+3)  < 0

donc la suite (Un) est décroissante à partir du rang n = 3

6) qn = (6 n + 1)/(n+2)

q0 = 1/2

q1 = 7/3

q2 = 13/4

on pose  qn = f(n)   donc  f(x) = (6 x + 1)/(x + 2)    définie sur  [0 ; + ∞[

la fonction quotient est dérivable sur son domaine de définition et sa dérivée  f '(x) = (6(x + 2) - (6 x + 1))/(x + 2)² = (6 x + 12 - 6 x - 1)/(x+12)²

donc  f '(x) = 11/(x + 2)²  > 0  donc f est croissante sur [0 ; + ∞[

alors la suite (qn) est croissante sur N    

Explications étape par étape :