- 11 a = V2 - 1 et b = 2 - 13. Démontre que les nombres réels a et b sont positifs. Compare a et b. 12 Compare les nombres réels suivants : 9 et 4 V5 ; 3 V2 et

Réponse :

Slt

on a 2 > 1, donc  [tex]\sqrt{2}[/tex] > [tex]\sqrt{1}[/tex] , [tex]\sqrt{2}[/tex] > 1

(la fonction racine étant strictement croissante le signe de l'égalité ne change pas)

donc [tex]\sqrt{2} -1[/tex] est positif

on a 2 - [tex]\sqrt{3}[/tex] = [tex]\sqrt{4}[/tex] - [tex]\sqrt{3}[/tex], la fonction racine est strictement croissante et 4 > 3 donc  [tex]\sqrt{4}[/tex] - [tex]\sqrt{3}[/tex] > 0, ainsi 2 - [tex]\sqrt{3}[/tex] est positif

a² = 2 - 2*[tex]\sqrt{2}[/tex] + 1 = 3 - 2*[tex]\sqrt{2}[/tex] = 3 - [tex]\sqrt{4}[/tex] * [tex]\sqrt{2}[/tex] = 3 - [tex]\sqrt{8}[/tex]

b² = 4 - 4*[tex]\sqrt{3}[/tex] + 3 = 7 - [tex]\sqrt{2}[/tex] * [tex]\sqrt{3}[/tex] = 7 - [tex]\sqrt{6}[/tex]

(comparer les carrés de a et b revient à comparer a et b car la fonction carré est strictement croissante pour des nombres positifs)

Ici on voit que b > a

4[tex]\sqrt{5}[/tex] = [tex]\sqrt{16}[/tex] * [tex]\sqrt{5}[/tex] = [tex]\sqrt{80}[/tex], et 9 = [tex]\sqrt{81}[/tex] donc 9 > 4[tex]\sqrt{5}[/tex]

de la même manière :

3[tex]\sqrt{2}[/tex] = [tex]\sqrt{18}[/tex] et 2[tex]\sqrt{3}[/tex] = [tex]\sqrt{12}[/tex] donc 3[tex]\sqrt{2}[/tex] > 2[tex]\sqrt{3}[/tex]

-2[tex]\sqrt{7}[/tex] = -[tex]\sqrt{28}[/tex] et -7[tex]\sqrt{2}[/tex] = -[tex]\sqrt{98}[/tex] donc -2[tex]\sqrt{7}[/tex] > -7[tex]\sqrt{2}[/tex]

voilà c'est carré