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Question

Exercice 2 : On considère la parabole P d'équation y
= x et le point A(a; a^2)
appartenant à P, où a est un nombre réel. Soit D une droite passant par A de
coefficient directeur m.
1. Montrer que l'équation réduite de la droite D est :
y=mx - ma + a2
2. Montrer que les abscisses des points d'intersection de la parabole P et
la droite D sont solutions de l'équation :
x² –
- mx + ma- - a² = 0
3. En déduire que la parabole P et la droite D ont le point A pour seul
point d'intersection si et seulement si m = 2a. On dit dans ce cas que
la droite D est tangente à la parabole P au point A.
4. Montrer que la parabole P est située au dessus de chacune de ses
tangentes.
Exercice 2 : On considère la parabole P d'équation y = x et le point A(a; a^2) appartenant à P, où a est un nombre réel. Soit D une droite passant par A de coef

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape :

    J'allais te faire la remarque sur "les mots de politesse" !!

    1)

    D a donc pour équation :

    y=mx+b

    D passe par le point (a;a²) donc on peut écrire :

    a²=ma+b qui donne : b=a²-ma

    Donc équation de D :

    y=mx-ma+a²

    2)

    On résout :

    x²=mx-ma+a² qui donne :

    x²-mx+ma-a²=0

    3)

    On a un seul point d'intersection si le discriminant Δ de l'équation ci-dessus est nul.

    Δ=b²-4ac=(-m)²-4(ma-a²)

    Δ=m²-4ma+4a²

    Δ=m²-2*m*2a+(2a)²

    Δ=(m-2a)²

    Donc Δ=0 implique :

    m-2a=0 soit :

    m=2a

    4)

    Quand m=2a , la droite D est tangente à P et a pour équation :

    y=2ax-2a*a+a²

    y=2ax-a²

    Pour montrer que P est au-dessus de ses tangentes , on va montrer que :

    x² ≥ 2ax-a² soit :

    x²-2ax+a² ≥ 0 qui donne :

    (x-a)² ≥ 0

    Ce qui est  vérifié car un carré est toujours ≥ 0.

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