Bonsoir, à l'aide de cette propriété donner les formes factorisées des quatre fonctions suivantes : x² + x + 1 −x² + x + 1 x² − x − 1 −x² + 6x − 9

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

Sur IR

A = x² + x + 1

A = 0

A = x² + x + 1

Calculons le déterminant Δ = b² - 4 ac

avec a = 1, b = 1 et c = 1

Δ = (1)² - 4(1)(1)

Δ = 1 - 4

Δ = - 3 < 0 donc pas de solutions

donc A ne peut pas se factoriser

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B = −x² + x + 1

B = 0

B = −x² + x + 1 = 0

Calculons le déterminant Δ = b² - 4 ac

avec a = - 1, b = 1 et c = 1

Δ = (1)² - 4(-1)(1)

Δ = 1 + 4

Δ = 5 > 0 et √Δ = √5

donc l'équation B = −x² + x + 1 = 0 admet deux solutions

x₁ = ( - b - √Δ)/(2a) et  x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)

avec a = - 1, b = 1 et c = 1

x₁ = ( - (1) - √5)/(2(-1)) et   x₂ = ( - (1) + √5)/(2(-1))

x₁ = ( 1 - √5)/(-2) et  x₂ = ( 1 + √5)/(-2)

x₁ = (√5 + 1)/2 et  x₂ = ( - 1 - √5)/2

donc B = a (x - x₁ )(x - x₂)

donc B = - 1 (x - (√5 + 1)/2)(x - ( - 1 - √5)/2)

____________________________________________

C = x² − x − 1

C = 0

C =  x² − x − 1 = 0

C = - ( - x² + x + 1) = 0

C = - B = 0

Calculons le déterminant Δ = b² - 4 ac

avec a = 1, b = - 1 et c = - 1

Δ = (-1)² - 4(1)(-1)

Δ = 1 + 4

Δ = 5 > 0 et √Δ = √5

donc l'équation C = x² - x -  1 = 0 admet deux solutions

x₁ = ( - b - √Δ)/(2a) et  x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)

avec a = 1, b = - 1 et c = - 1

x₁ = ( - (-1) - √5)/(2(1)) et   x₂ = ( - (-1) + √5)/(2(1))

x₁ = ( 1 - √5)/(2) et  x₂ = ( 1 + √5)/(2)

x₁ = (√5 - 1)/2 et  x₂ = ( 1  + √5)/2

donc C = a (x - x₁ )(x - x₂)

donc C =  1 (x - (√5 - 1)/2)(x - (  1 + √5)/2)

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D = −x² + 6x − 9

D = 0

D = −x² + 6x − 9 = 0

D = - (x² - 6x + 9) = 0

(x² - 6x + 9)  est de la forme a² - 2 ab + b² = (a -b)²

avec a² =x² et b²= 9 donc a = x et b = 3

D = - (x² - 6x + 9) = 0

D = - (x - 3)² = 0

D admet une racine double 3 donc D = - 1 (x -3)²