Bonjour je suis en 1ère et merci pour votre aide (c’est pour demain merci d’avance)

Réponse :

Un = e⁻ⁿ/³     n ∈ N

3.1  démontrer que la suite (Un) est géométrique, et préciser sa raison

Un+1 = e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³ = e⁻ⁿ/³ ⁺⁽⁻ ¹/³⁾ = e⁻ⁿ/³ x e⁽⁻ ¹/³⁾ = e⁽⁻ ¹/³⁾x Un

donc la suite (Un) est une suite géométrique de raison  q =  e⁽⁻ ¹/³⁾

3.2 pour tout n ∈ N,  on note  Sn = ∑Uk = U0 + U1 + .... + Un

exprimer explicitement Sn en fonction de n

Sn =  1 x (1 - (e⁽⁻ ¹/³⁾)ⁿ⁺¹)/(1 - e⁽⁻ ¹/³⁾)                  U0 = e⁰ = 1

    = (1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)/e¹/³)

    = e¹/³(1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)

3.3  en déduire lim Sn  = lim e¹/³(1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)

                          n→ + ∞    n→ + ∞

on pose  N = - (n+1)/3     lorsque  n → + ∞   on a  N → - ∞

donc  lime^N = 0

         n→ - ∞

donc lim Sn  = (e¹/³)/(e¹/³ - 1)

         n→ + ∞

Explications étape par étape :