Bonjour je suis bloqué ici Dans un repère, C est la courbe de la fonction carré (x²), A le point de coordonnées (3;0) et M un point variable de C. Le but de cet
Question
Dans un repère, C est la courbe de la fonction carré (x²), A le point de coordonnées (3;0) et M un point variable de C.
Le but de cet énigme est de trouver la position de M qui rend la distance AM minimale.Cette distance est alors appelée la distance de A à la courbe C.
On admet sur la distance AM est minimale quand son carré AM² est minimal.
Pour tout réel x, on note x l'abscisse de M et f(x) = AM². Ainsi, M a pour coordonnées (x;x²).
1)Montrer que f(x) = x⁴+x²-6x+9
2) Monter sur la dérivée de f' de f vérifie pour tout x : f'(x) = (x-1)(4x²+4x+6)
3) Etudier les variations de la fonction f et conclure
SVP
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
1) montrer que f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
f(x) = AM²
vec(AM) = (x - 3 ; x²) ⇒ AM² = (x - 3)² + (x²)²
= x² - 6 x + 9 + x⁴
donc f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
2) montrer que f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = 4 x³ + 2 x - 6
racine évidente x = 1 ⇒ f '(1) = 4 + 2 - 6 = 0
donc on peut écrire f '(x) = (x - 1)(a x² + b x + c)
⇔ f '(x) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
a = 4
b - a = 0 ⇔ b = a = 4
c - b = 2
- c = - 6 ⇔ c = 6
donc f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
3) étudier les variations de la fonction f et conclure
f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
4 x² + 4 x + 6
Δ = 16 - 96 = - 80 < 0 pas de racines
le signe de 4 x² + 4 x + 6 est positif car a = 4 > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de x - 1
x - ∞ 1 + ∞
x - 1 - 0 +
f(x) + ∞ →→→→→→→→→→→→→ 5 →→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
f(x) est minimale est sa valeur est 5 pour x = 1
donc la distance AM est minimale pour x = 1
Explications étape par étape :