Bonjour, j’ai un dm pour demain et je ne comprends pas cette exercice, quelqu’un pourrait-il m’aider svp?

Réponse :

1) montrer que, pour tout réel x non nul :

     g(x) - f(x) = (x - 1)(x + 1)²/x

g(x) - f(x) = x² + x + 1/4  - (5 x + 4)/4 x

              = (4 x³ + 4 x² + x)/4 x  - (5 x + 4)/4 x

              =   (4 x³ + 4 x² + x - 5 x - 4)/4 x

              = (4 x³ + 4 x² - 4 x - 4)/4 x

              = 4(x³ + x² - x - 1)/4 x

              = (x³ + x² - x - 1)/x

              = (x²(x + 1) - (x + 1))/x

              = (x + 1)(x² - 1)/x

              = (x + 1)(x + 1)(x - 1)/x

              = (x - 1)(x + 1)²/x

2) en déduire les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg, puis la position relative des courbes Cf et Cg

g(x) - f(x) = 0  ⇔  (x - 1)(x + 1)²/x = 0   puisque  x ≠ 0

⇔  (x - 1)(x + 1)² = 0  produit nul  ⇔ x - 1 = 0  ⇔ x = 1  ou  x + 1 = 0  

⇔ x = - 1  racine double

donc les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg  sont  x = 1 et x=-1

(x+1)² ≥ 0  donc le signe de g(x) - f(x) dépend du signe de x - 1)/x

           x      - ∞              0               1              + ∞

         x - 1               -                 -      0       +    

            x                 -      ||         +               +

   g(x)-f(x)                +     ||          -       0      +

entre  ]- ∞ ; 0[U[1 ; + ∞[  ⇒ g(x) - f(x) ≥ 0  donc la courbe de g  est au dessus de la courbe de f

entre  ]0 ; 1] ⇒ Cg est en dessous de Cf

3) montrer que les courbes Cf et Cg admettent la même tangente au point A d'abscisse - 1

f(x) = (5 x + 4)/x  ⇒ f '(x) = (5 x - (5 x + 4))/x² = - 4/x²

f '(-1) = - 4   et  f(- 1) = 1  ⇒ y = f(-1) + f '(- 1)(x + 1)  = 1 - 4(x + 1) = - 4 x - 3

g '(x) = 2 x + 1

g(-1) = 1/4   et g '(-1) = - 1  ⇒ y = g(-1) + g '(- 1)(x + 1) = 1/4 - (x + 1)

y = 1/4 - x - 1   ⇔  y = (- 4 x - 3)/4  

Explications étape par étape :