Bonjour, je voudrais savoir si il y a une manière pour démontrer la conjecture. Tangente et fonction inverse: On considère la courbe C, représentant la fonction
Mathématiques
castroyannick
Question
Bonjour, je voudrais savoir si il y a une manière pour démontrer la conjecture.
Tangente et fonction inverse: On considère la courbe C, représentant la fonction
inverse f définie sur R/{0} par f(x)=1/x
On considère, pour a #0, la tangente notée Ta au
point A d'abscisse a de la courbe Cf. On note M et N
les points d'intersection de la tangente Ta avec les
axes de coordonnées.
1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique,
construire Cr, un point A mobile sur Cp, la tangente
TA puis les points M et N. Déplacer le point A.
Quelle conjecture peut-on émettre quant à la position
relative des points A, M et N ?
2. a. Justifier que l'équation réduite de la fonction de la tangente pour tout réel a non nul :y=-1/a carré le tout fois x+2/a
b. Démontrer la conjecture émise en 1.
J'ai déjà trouvé que la conjecture est que A est toujours le milieu de [M,N].
Merci d'avance.
Tangente et fonction inverse: On considère la courbe C, représentant la fonction
inverse f définie sur R/{0} par f(x)=1/x
On considère, pour a #0, la tangente notée Ta au
point A d'abscisse a de la courbe Cf. On note M et N
les points d'intersection de la tangente Ta avec les
axes de coordonnées.
1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique,
construire Cr, un point A mobile sur Cp, la tangente
TA puis les points M et N. Déplacer le point A.
Quelle conjecture peut-on émettre quant à la position
relative des points A, M et N ?
2. a. Justifier que l'équation réduite de la fonction de la tangente pour tout réel a non nul :y=-1/a carré le tout fois x+2/a
b. Démontrer la conjecture émise en 1.
J'ai déjà trouvé que la conjecture est que A est toujours le milieu de [M,N].
Merci d'avance.
1 Réponse
-
1. Réponse Felony
à l'aide de l'équation de la tangente on peut calculer les coordonnées des points M et N:
si x = 0 alors y = 2/a
et si y = 0 alors -1/a²x + 2/a = 0 donc 1/a²x = 2/a puis x = 2a²/a = 2a
donc M(0 ; 2/a) et N( 2a ; 0)
on calcule les coordonnées du milieu du segment [MN]:
(2a + 0)/2 = a et (2/a + 0)/2 = (2/a)/2 = 1/a
Coordonnées du milieu de [MN]: (a ; 1/a)
Bingo!!! c'est le point de la courbe représentative de la fonction inverse d'abscisse a.
la conjecture est démontrée.