Bonsoir je bloque sur cette exercice pourriez-vous m’aider s’il vous plaît Merci beaucoup

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Tu m'as demandé de l'aide hier mais je ne me suis pas connecté. Tu as peut-être fini cet exo. Je te le fais quand même.

1)

Tu as trouvé :

f(-1)=0

2)

Il faut résoudre :

x³-4x²-10x-5=0

Mais avant tu as développé :

(x+1)(x²-5x-5) et tu as trouvé : x³-4x²-10x-5.

Donc on doit résoudre :

(x+1)(x²-5x-5)=0

x+1=0 qui donne : x1=-1 déjà trouvé en 1)

et :

x²-5x-5=0

Δ=(-5)²-4(1)(-5)=45

√45=√(9*5)=3√5

x2=(5-3√5)/2

x3=(5+3√5)/2

Antécédents de zéro : x1 ; x2 et x3 donnés ci-dessus.

3)

On développe :

(x-4)(x²-10)-45=x³-4x²-10x+40-45=x³-4x²-10x-5

4)

Donc :

f(x)=[(x-4)(x²-10)-45] / (x-4)

f(x)=[(x-4)(x²-10)] / (x-4) -[45/(x-4)]

Comme x ≠ 4 , on peut simplifier par (x-4) pour arriver à :

f(x)= x²-10 - [45/(x-4)]

5)

Ce qui donne :

f(x)-x²=-10 - [45/(x-4)]

Pour x > 4 , le facteur (x-4) est positif donc -45/(x-4) est négatif et :

-10 - [45/(x-4) ] est négatif comme somme de 2 termes négatifs.

Donc :

f(x)-x² < 0

Donc :

f(x) < x² pour tout x > 4.

6)

f est de la forme u/v avec :

u=x³-4x²-10x-5 donc u '=3x²-8x-10

v=x-4 donc v '=1

f '(x)=[(3x²-8x-10)(x-4)-(x³-4x²-10x-5)] /(x-4)²

Je te laisse développer et trouver à la fin :

f '(x)=(2x³-16x²+32x+45) / (x-4)²

f '(x) est du signe du numérateur que nous appelons :

g(x)=2x³-16x²+32x+45

Nous allons faire le tableau de variation de g(x) sur ]4;+∞[ .

g '(x)=6x²-32x+32 qui est négatif entre ses racines.

Calcul des racines :

6x²-32x+32=0 soit :

3x²-16x+16=0

Δ=(-16)²-4(3)(16)=64

√64=8

x1=(16-8)/6=4/3

x2=(16+8)/6=4

C=flèche qui monte.

x-------->4...........................+∞

g '(x)--->...........+..................

g(x)--->45.......C...............

Car g(4)=45

Le numérateur g(x) est croissante sur ]4;+∞[ avec g(4)=45. Donc g(x) > 0 sur cet intervalle.

Donc pour x > 4 , f '(x) > 0.

8)

Nous faisons maintenant le tableau de variation de g(x) sur ]-∞;-2] :

Nous avons vu que g '(x) est positif sur ]-∞;4/3] donc :

x------->-∞..................-2

g '(x)-->...........+..........

g(x)--->.......C..........-99

g(x) est croissante sur ]-∞;-2] avec pour max local g(-2)=-99.

Donc sur ]-∞;-2] , g(x) < 0.

Donc sur ]-∞;-2] , f '(x) < 0.

9)

On a donc  :

f '(x)=(2x³-16x²+32x+45) / (x-4)²

qui est du signe du numérateur g(x)= 2x³-16x²+32x+45.

Nous allons faire le tableau de variation de g(x) sur [0;4[

g '(x)=6x²-32x+32 qui est négatif entre ses racines x1=4/3 et x2=4.

x-------->0.................4/3...............4

g '(x)--->..........+.........0.........-........0

g(x)---->45........C......≈64....D......45

D'après ce tableau de variation g(x) donc f '(x) est toujours positive sur [0;4[.

10)

D'après les questions 7) et 9) , f '(x) > 0 sur ]4;+∞[ donc :

x----->4....................+∞

f '(x)-->..........+..........

f(x)--->||..........C........

C=flèche qui monte.

Tgte en x=0 :

y=f '(0)x+f(0)

f '(0)=45/16 et f(0)=5/4

y=(45/16)x+5/4

Je ne connais pas le langage utilisé dans ce programme final.