Bonjours je ne comprends pas l‘exercice en rose qlq pourrai t il m’aider

Réponse :

f(x) = - x³ + x² + x - 1

1) Df = R

2) étudier les variations de f sur Df

f est une fonction polynôme dérivable sur Df = R et sa dérivée f ' est :

f '(x) = - 3 x² + 2 x + 1

Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ 2 racines ≠

x1 = - 2+4)/-6 = - 1/3   ⇒ f(-1/3) = - (-1/3)³ + (-1/3)² + (-1/3) - 1 = - 32/27

x2 = - 2-4)/-6 = 1   ⇒ f(1) = 0

x       - ∞                          - 1/3                              1                             + ∞

f '(x)                    -               0                 +             0                -

varia. + ∞→→→→→→→→→→ - 32/27→→→→→→→→→→→  0 →→→→→→→→→→→→ - ∞    

de f(x)       décroissante              croissante             décroissante

3) déterminer la tangente T0 à Cf au point d'abscisse 0

      y = f(0) + f '(0)(x - 0)

         = - 1 + x

donc  y = x - 1   est l'équation de la tangente T0

4) étudier la position relative de Cf par rapport à T0

étudions le signe de f(x) - y

f(x) - y = - x³ + x² + x - 1 - (x - 1) = - x³ + x² + x - 1 - x + 1 = - x³ + x²

f(x) - y = x²(- x + 1)

       x     - ∞              0                 1                 + ∞      

       x²             +        0        +                +

   - x + 1           +                   +      0        -    

  f(x) - y            +        0        +      0        -

f(x) - y  ≥ 0   sur  ]- ∞  ; 0]U[0 ; 1] ⇒ Cf est au dessus de T0

f(x) - y ≤ 0    sur  [1 ; + ∞[  ⇒ Cf est en dessous de T0

Explications étape par étape :