Bonsoir pourriez-vous m’aider merci beaucoup.

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

J'espère que cet exo n'était pas à faire pour ce lundi matin !!

1)

f(-4)=16+4=20

2)

Il faut résoudre :

x² - 4/(x+3)=0

soit :

[x²(x+3)-4] /(x+3)=0

(x³+3x²-4) / (x+3)=0

Donc il faut résoudre :

x³+3x²-4=0

x=1 est racine évidente car : 1³+3*1²-4=0.

Donc on peut écrire :

x³+3x²-4=(x-1)(ax²+bx+c)

Soitaprès avoir développé à droite  :

x³+3x²-4=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c

Par identification gauche-droite , on a :

a=1

b-a=3 ==>b=3+a=3+1

b=4

c-b=0 ==>c=b

c=4

-c=-4

c=4

Donc :

x³+3x²-4=(x-1)(x²+4x+4)

x³+3x²-4=(x-1)(x+2)²

f(x)=0 donne donc :

(x-1)(x+2)²=0 soit :

x-1=0 OU x+2=0

x=1 OU x=-2

3)

La dérivée de 4/u est -4u'/u².

Ici u=x+3 donc u'=1.

La dérivée de -4/(x+3) est donc : -(-4)/(x+3)²

f '(x)=2x  + 4/(x+3)²

4)

f '(-1)=2(-1) +4/ (-1+3)²=-2 + (4/2²)=-2+1

f '(-1)=-1

5)

Non , on ne peut pas conclure que f '(x) est tjrs < 0 car , par exemple :

f '(0)=4/9  > 0.

6)

Trouver le signe de f '(x) :

f '(x)=2x  +4/(x+3)²

On réduit au même dénominateur qui est (x+3)² soit ( x²+6x+9) :

f '(x)=[2x(x²+6x+9)+4] / (x+3)²

f '(x)=(2x³+12x²+18x+4) / (x+3)²

f '(x) est du signe de son numérateur.

Il nous faut donc le signe d'une fct auxiliaire que j'appelle g(x) avec :

g(x)=2x³+12x²+18x+4

g '(x)=6x²+24x+18 qui est < 0 entre ses racines.

Racines de g '(x) .

On résout :

6x²+24x+18=0 soit :

x²+4x+3=0

Δ=4²-4(1)(3)=4

√4=2

x1=(-4-2)/2=-3

x2=(-4+2)/2=-1

Variation de g(x) :

C= flèche qui monte et D=flèche qui descend.

x--------->-∞................-3..............-1..................+∞

g '(x)---->..........+.........0......-.......0...........+...........

g(x)------>-∞.....C........4.....D.......-4.......C.........+∞

Sur ]-∞;-3] , g(x) est continue et strictement croissante et  passe de valeurs < 0 à une valeur positive pour x=-3. Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que g(α)=0

La calculatrice donne :

α ≈ -3.7 car g(-3.8)≈-0.864 et g(-3.7)≈0.374

Sur ]-3;-1] , g(x) est continue et strictement décroissante et  passe d'une valeur > 0 ( qui est 4) pour x=-3 à une valeur < 0 ( qui est -4) pour x=-1 Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel β tel que g(β)=0

La calculatrice donne :

β=-2

Sur [-1;+∞[, g(x) est continue et strictement croissante et  passe d'une valeur < 0 ( égale à -4) pour x=-1 à des valeurs positives pour x qui tend vers +∞. Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel  γ tel que g(γ)=0

La calculatrice donne :

γ ≈  -0.3 car g(-0.3)≈-0.374 et g(-0.2) ≈0.864

Tableau de signes de g(x) :

x-------->-∞............≈-3.7...................-2....................-0.3................+∞

g(x)----->........-..........0..........+.........0............-..........0............+..........

Mais f '(x) est du signe de g(x)  donc :

Tableau de variations de f(x) :

x--------->-∞...............≈-3.7................-3..............-2.............≈-0.3..............+∞

f '(x)----->..........-.........0..........+..........||........+.......0......-.......0..........+..........

f(x)------>........D.........≈19.4.....C........||.......C.......0......D......≈-1.4.....C...

C= flèche qui monte et D=flèche qui descend.

J'ai indiqué sur mon graph les points :

A(-3.7;19.4)

B(-2;0)

C(-0.3;-1.4)

qui sont les points remarquables de Cf  .