Bonsoir tout le monde, j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice de math niveau première. Mercii d'avance ^^ ABC est un triangle rectangle en A,
Question
ABC est un triangle rectangle en A, M est le milieu du segment [BC], H est le pied de la hauteur issue de A, K est le projeté orthogonal de H sur (AB) et L est le projeté orthogonal de H sur (AC).
1. Faire une figure.
2. Justifier les égalités suivantes :
a. AM(vecteur)= 1/2 (AB(vecteur)+ AC(vecteur))
b. AB(vecteur).KL(vecteur) = AB(vecteur).KA(vecteur) = AB(vecteur).HA(vecteur)
c. AC(vecteur).KL(vecteur)= AC(vecteur).AL(vecteur) = AC(vecteur).AH(vecteur)
3. Démontrer alors que les droites (AM) et (KL) sont perpendiculaires.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
2) justifier les égalités suivantes
a) vec(AM) = 1/2(vec(AB) + vec(AC))
vec(AM) = vec(AB) + vec(BM) d'après la relation de Chasles
= vec(AB) + 1/2vec(BC) M milieu de (BC)
= vec(AB) + 1/2(vec(BA) + vec(AC)) relation de Chasles
= vec(AB) - 1/2vec(AB) + 1/2vec(AC)
= 1/2vec(AB) + 1/2vec(BC)
= 1/2(vec(AB) + vec(AC))
b) vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)
vec(AB).vec(KL) = vec(AB).(vec(KA) + vec(AL) = vec(AB).vec(KA) + vec(AB).vec(AL) or vec(AB).vec(AL) = 0 car cos 90° = 0
donc vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA)
et vec(AB).vec(KA) = vec(AB).(vec(KH) + vec(HA))
= vec(AB).vec(KH) + vec(AB).vec(HA) or vec(AB).vec(KH) = 0 car cos 90° = 0
donc vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)
par conséquent; on a:
vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)
c) vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL) = vec(AC).vec(AH)
vec(AC).vec(KL) = vec(AC).(vec(KA) + vec(AL)) = vec(AC).vec(KA) + vec(AC).vec(AL) or vec(AC).vec(KA) = 0 car cos 90° = 0
donc vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL)
et vec(AC).vec(AL) = vec(AC).(vec(AH) + vec(HL) = vec(AC).vec(AH) + vec(AC).vec(HL) or vec(AC).vec(HL) = 0 car cos 90° = 0
donc finalement vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL) = vec(AC).vec(AH)
Explications étape par étape :