Les suites - DM Exercice 1 : On définit une suite (Un) sur N par : u0 = -12 et pour tout n ? N, Un+1 = 1/4Un + 6. A) Démontrer par récurrence sur n que la suite
Mathématiques
EucliwoodMelledestro
Question
Les suites - DM
Exercice 1 :
On définit une suite (Un) sur N par : u0 = -12 et pour tout n ? N, Un+1 = 1/4Un + 6.
A) Démontrer par récurrence sur n que la suite est majorée par 8.
B)Démontrer que la suite est croissante.
Déduire des questions A) et B) la convergence ou non de la suite (Un).
C) Démontrer que la suite (Vn) définie par Vn = Un - 8 est géométrique de raison 1/4.
En déduire l'expression générale de Vn, puis celle de Un en fontion de n.
D) Calculer la limite (Un).
Exercice 2 :
On définit une suite (Un) sur N par u0 =3 et pour tout n>0, Un+1 = 1/ 1 - Un.
1) Calculer les premiers termes puis faire une conjecture sur l'expression générale de Un selon les valeurs de n. (On sera peut etre amené à examiner plusieurs cas).
2) Démontrer cette conjecture.
3)Donner la valeur exacte (sous forme de fraction irréductible) de U2014.Exercice 3 : Soit la suite U définie sur N* par : Un = 1+1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n².Ce qui s'écrit : Un = E avec m=1, 1/m² , soit encore Un = 1 + E avec m =2 1/m²1) Justifier que la suite U est croissante.2A) Vérifier que pour tout entier m ? 2 on a : 1/m² < 1/1-m - 1/m.2B) En déduire que pour tout n ? N* l'on a : Un ? 2 - 1/n.3) Que peut-on en déduire pour la suite U ?
Exercice 1 :
On définit une suite (Un) sur N par : u0 = -12 et pour tout n ? N, Un+1 = 1/4Un + 6.
A) Démontrer par récurrence sur n que la suite est majorée par 8.
B)Démontrer que la suite est croissante.
Déduire des questions A) et B) la convergence ou non de la suite (Un).
C) Démontrer que la suite (Vn) définie par Vn = Un - 8 est géométrique de raison 1/4.
En déduire l'expression générale de Vn, puis celle de Un en fontion de n.
D) Calculer la limite (Un).
Exercice 2 :
On définit une suite (Un) sur N par u0 =3 et pour tout n>0, Un+1 = 1/ 1 - Un.
1) Calculer les premiers termes puis faire une conjecture sur l'expression générale de Un selon les valeurs de n. (On sera peut etre amené à examiner plusieurs cas).
2) Démontrer cette conjecture.
3)Donner la valeur exacte (sous forme de fraction irréductible) de U2014.Exercice 3 : Soit la suite U définie sur N* par : Un = 1+1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n².Ce qui s'écrit : Un = E avec m=1, 1/m² , soit encore Un = 1 + E avec m =2 1/m²1) Justifier que la suite U est croissante.2A) Vérifier que pour tout entier m ? 2 on a : 1/m² < 1/1-m - 1/m.2B) En déduire que pour tout n ? N* l'on a : Un ? 2 - 1/n.3) Que peut-on en déduire pour la suite U ?
1 Réponse
-
1. Réponse editions
Bonjour,
exercice 1
A)
initialisation
U0<8
hérédité
supposons Un≤8 et démontrons qu'alors U(n+1)<8
Un≤8
(1/4)Un≤2
(1/4)Un+6≤8
U(n+1)<8
donc la suite est majorée par 8
B)
initialisation
U0<U1<U2
Hérédité
On suppose Un<U(n+1) et on démontre qu'alors U(n+1)<U(n+2)
soit f(x)=(1/4)x+6; f est strictement croissante
U(n+1)=f(Un)
Un<U(n+1)
donc f(Un)<f(U(n+1)) car f est croissante
donc U(n+1)<U(n+2)
donc Un est croissante.
Un est croissante et majorée, elle est donc convergente.
C)
Vn=Un-8
V(n+1)=U(n+1)-8=(1/4)Un+ 6-8=(1/4)Un-2=1/4(Un-8)=1/4Vn
donc Vn est géométrique de raison 1/4
U0=-12
V0=U0-8=-20
donc Vn=-20*(1/4)^n
Vn=Un-8
donc Un=Vn+8
donc Un=8-20*(1/4)^n
D)
lim de -20*(1/4)^n=0
donc lim Un quand n tend vers +∞=8