Bonjour, pourriez vous m'aider, l'exercice est en pièce jointe, mercii

Réponse :

bonsoir un exercice classique avec une fonction ln

Explications étape par étape :

f(x)=(2-lnx)(lnx)  et son Df ]0;+oo[

1a)si x tend vers 0+ f(x) tend vers -oo (lecture graphique)

si x tend vers 0 , lnx tend vers-oo donc

2-lnx tend vers +oo et f(x) tend vers(+oo)*(-oo)=-oo

b) limite en +oo

(2-lnx) tend vers -oo et lnx tend vers +oo donc f(x) tend vers (oo)*(+oo)=-oo

2) Dérivée f(x) est un produit u*v sa dérivée est u'v+v'u

u=2-lnx       u'=-1/x

v=lnx          v'=1/x

f'(x)=(-1/x)*lnx +(1/x)(2-lnx)=(1/x)(-lnx+2-lnx)=2(1-lnx)/x (donnée dans l'énoncé)

3)x étant >0 le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de 1-lnx

1-lnx=0 pour x=e

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      0                                 e                                      +oo

f'(x)               +                     0                    -

f(x)  II -oo       croi                    f(e)            décroi          -oo

f(e)=(2-1)*1=1

4a) les abscisses des points d'intersection de (Cf) avec l'axe des abscisses sont les solutions de f(x)=0

(2-lnx)*lnx=0  ce sont les solutions du produit

2-lnx=0     ou    lnx=0

 lnx=2                 x=1

  x=e²

solution xA=1 et xB=e²

b) le coefficient directeur de la tangente au point A  est a=f'(xA) soit f'(1)

f'(1)=2(1-0)/1=2

équation de cette tangente  y=f'(1)(x-1)+f(1)=2x-2+0

y=2x-2