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Question

bonjour, vous pouvez répondre à ces question en essayant d’expliquer svp? merci d’avance ;) !

Soit M un point variable de cette courbe et H est le projeté orthogonal de M sur l'axe des
abscisses. On appelle x l'abscisse du point de M. Le but de cette question est de s'intéresser à l'aire du triangle OM H qui varie en fonction de
x. On appelle A(x) l'aire du triangle OMH.

a) Montrer que A(x) = 12x / x²+4

b) Dresser le tableau de variation de la fonction A.

c) Pour quelle position de M l'aire de OM H est-elle maximale? Calculer cette aire maximale.
bonjour, vous pouvez répondre à ces question en essayant d’expliquer svp? merci d’avance ;) ! Soit M un point variable de cette courbe et H est le projeté ortho

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1 Réponse

  • bonjour

    a)

    le point A a pour coordonnées (x ; 24/(x² + 4) )

    sur l'intervalle [0 ; 6] ces coordonnées sont positives

    les côtés de l'angle droit du triangle rectangle OHM

    mesurent x et 24/(x² + 4)

    son aire est  A(x) = (1/2)*x *24/(x² + 4) = 12x/(x² + 4)

    b)

    variations de A(x)

    Dérivée d'un quotient :  (u/v)' = (u'v - uv')/v²

    u : 12x     ;     u' : 12

    v : x² + 4   ;   v' : 2x

    A'(x) = [12(x² + 4) - 12x*2x ] / (x² + 4)²

    le dénominateur est positif

    signe du numérateur

    12(x² + 4) - 12x*2x = 12x² + 48 - 24x²

                                 = -12x² + 48

                                 = 12 ( - x² + 4)

                                 = 12 (4 - x²)

                                = 12 ( 2 - x)(2 + x)

                                = 12 (-x + 2)(x + 2)

    x            -∞              -2                 0                    2                    6

    -x + 2             +                +                    +          0         -

    x + 2              -          0     +                    +                     +

    A'(x)               -          0     +                    +          0         -

    A(x)                ↘                ↗                   ↗                     ↘                      

                 ///////////////////////////////////                                             ///////////////////    

    sur l'intervalle [0 ; 6] l'aire croît de 0 à 2 puis décroît de 2 à 6

    le maximum de l'aire obtenu pour x = 2

    • quand x vaut 2 le point M a pour ordonnée

    f(2) = 24/(2² + 4) = 24/8 = 3

    M(2 ; 3)

    • calcul de l'aire

    A(x) = 12x/(x² + 4)

    ce maximum vaut  24 / (2² + 4) = 24 /8 = 3    

    réponse : 3

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