Bonjour, pourriez vous m’aider sur cet exercice de math svp . Résoudre dans R les inéquations suivantes . Je vous met en Photo les inéquations. Aidez moi svp

1) (x - 2)(3x + 1) > 0

Pour qu'un produit de deux nombre soit positif, il y a exacte,ent deux possibilités:

1. les deux facteurs sont positifs

2. les deux sont négatifs

Pour que (x - 2)(3x + 1) >0

Option 1:

x - 2 > 0 et 3x + 1 > 0

soit x > 2 et 3x + 1 - 1 > -1 (si j'ajoute un même nombre au deux cotés, l'inégalité ne change pas.

donc x > 2 et 3x > -1

soit x > 2 et 3x / 3 > -1 / 3 (si je divise les deux cotés par un npmbre positif, l'inégalité ne change pas)

ce qui donne x > 2 et x > -1/3

Ce qui revient à x > 2 ( si x > 2, il est forcément > -1/3

Maintenant on va étudier l'option 2 (les deux facteurs sont négatifs), soit :

x - 2 < 0 et 3x + 1 <0

x -2 + 2 < 2 et 3x + 1 - 1 < -1

x < 2 et 3x < -1

x < 2 et 3x / 3 < -1/3

x < 2 et x < -1/3

ce qui revient à x < -1/3 (si x < -1/3, x est forcement < 2)

la solution de notre inégalité est donc:

x < -1/3 ou x > 2

On en déduit que la solution de notre inégalité est  S =  ]-∞ ; -1/3[ ∪ ]2 ; +∞[

S =  ]-∞ ; -1/3[ ∪ ]2 ; +∞[

3) On a β² ≥ 0 (le carré d'un nombre est toujours positif)

donc β² + 1 ≥ 1 > 0

Pour que (β² + 1) / (242β - 11) soit positif est équivalent au fait que (242β - 11)

le soit aussi puisque β² + 1 est toujours positif.

De plus, 242β - 11 ne peut ps être nul (un dénominateur ne peut pas être nul)

Cela revient donc à 242β - 11 > 0

soit 242β - 11 + 11 > 0 + 11

ce qui équivant 242β > 11

On divise les deux cotés par 242 qui est un nombre positif. ce qui donne

β > 11/242

On note enfin que 242 = 22 * 11

11 /242 = (11 * 1) / (11 * 22) = 1/22

β > 11/242 est donc équivalent à β > 1/22

La solution de notre inégalité est donc S = ] 1/22 ; +∞[

4) je n'ai pas la lettre Phi dans le clavier, je vais donc utiliser x

x² * (x - 1) - 2x * (x -1) < (1 - x)

x² * (x - 1) - 2x * (x -1) - (1 - x) < (1 - x) - (1 - x) ; on soustrait (1 -x) des deux cotés de l'inégalité. Ce qui donne:

x² * (x - 1) - 2 x * (x -1) - (1 - x) < 0

x² * (x - 1) - 2 x * (x -1) + (x - 1) < 0 ; car -(1 - x) = -1 - (-x) = -1 + x = x - 1

On note que (x - 1) est un facteur commun à tous les termes de la somme. On peut donc factoriser par (x -1) ce qui donne:

(x-1 ) * (x² - 2x  + 1) < 0

on remarque l'identité remarquable x² - 2x  + 1 = (x + 1)²

Cela donne:

(x - 1) * (x + 1)² <0

(x + 1)² ≥ 0 car il s'agit d'un carré. Il peut néanmoins être nul (si x = -1)

Pour que (x - 1) * (x + 1)² <0

Il est nécessaire que :

1. x ≠ 0 sinon (x - 1) * (x + 1)² serait = 0

2. et il faut en plus x - 1 < 0 soit x < 1

L'ensemble des solutions est donc :

S = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[