Bonsoir je n'arrive pas à cette exercice Merci d'avance ​

Réponse :

{U0 = - 5

{Un+1 = (4Un - 1)/(Un + 2)

on admet que, pour tout entier naturel n,  Un > 1

1) calculer U1 et U2

U1 = (4U0 - 1)/(U0 + 2) = (4*(-5) - 1)/(- 5 + 2) = 7

U2 = (4U1 - 1)/(U1 + 2) = (4*7 - 1)/(7 + 2) = 27/9 = 3

2) la suite (Un) est-elle arithmétique ?  géométrique ?

 U1 - U0 = 7 - (- 5) = 12

 U2 - U1 = 3 - 7 = - 4

U1 - U0 ≠ U2 - U1   donc (Un) n'est pas une suite arithmétique

U1/U0 = 7/- 5 = - 7/5

U2/U1 = 3/7

donc  U1/U0 ≠ U2/U1  ⇒ (Un) n'est pas géométrique

3) pour tout entier naturel n, on pose

             Vn = 1/(Un - 1)

a) montrer que,  Vn+1 = (Un + 2)/3(Un - 1)

  Vn+1 = 1/(Un+1 - 1)

           = 1/[(4Un - 1)/(Un + 2)] - 1)

           =  1/[(4Un - 1)/(Un + 2)] - (Un + 2)/(Un + 2)

           = 1/(4Un - 1 - Un - 2)/(Un + 2)

           = (Un + 2)/(3Un - 3)

           = (Un + 2)/3(Un - 1)

b) démontrer que (Vn) est une suite arithmétique de raison 1/3 et de premier terme V0 = - 1/6

Vn+1 - Vn = (Un + 2)/3(Un - 1) - 1/(Un - 1)

                = (Un + 2)/3(Un - 1) - 3/3(Un - 1)    

                = (Un + 2 - 3)/3(Un - 1)

                = (Un - 1)/3(Un - 1)

                = 1/3

donc Vn+1 = Vn + 1/3  donc (Vn) est une suite arithmétique

de raison r = 1/3  et de premier terme V0 = 1/(U0 - 1) = 1/(-5 - 1) = - 1/6

c)  Vn = - 1/6 + 1/3) n

d) montrer que, pour tout entier naturel n, on a

                    Un = (1 + Vn)/Vn

Vn = 1/(Un - 1)  ⇔ Un - 1 = 1/Vn  ⇔ Un = 1/Vn) + 1

⇔ Un = 1/Vn + Vn/Vn   ⇔ Un = (1 + Vn)/Vn

e) en déduire l'expression de Un en fonction de n

       Un = (1 + Vn)/Vn

             = (1 + (- 1/6 + (1/3) n)/(- 1/6 + (1/3) n)

             = (5/6 + (1/3) n)/(- 1/6 + (1/3) n)

             = 1/3(5/2 + n)/1/3(- 1/2 + n)

             = (5/2 + n)/(- 1/2 + n)

          Un = (5 + 2 n)/(- 1 + 2 n)  

U100 = (5 + 200)/(- 1 + 200) = 205/199 ≈ 1.03

Explications étape par étape :