Mathématiques

Question

Le mathématicien Al-Khwarizmi (2800) a réussi à déterminer
une solution de l'équation x² + 12x = 45 en considérant le
rectangle AEFD ci-contre:
1º) Expliquer le lien entre l'équation initiale et la surface du rectangle.
D
En découpant le rectangle BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions, il obtient le
carré ci-dessous.
2°) Donner les dimensions du carré en fonction de x
3) En travaillant sur les aires, expliquer pourquoi : x2 + 12x = (x + 6)2 - 36
4°) Résoudre alors l'équation initiale.
5) En utilisant la méthode de Al-Khwarizmi, à votre tour de déterminer une solution de
x? + 10x = 75
Le mathématicien Al-Khwarizmi (2800) a réussi à déterminer une solution de l'équation x² + 12x = 45 en considérant le rectangle AEFD ci-contre: 1º) Expliquer le

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape :

    Sans formule de politesse de ta part ,je crains que ma réponse soit supprimée par un modérateur ! Je t'avais prévenue.

    1)

    Aire AEFD=longueur * largeur=(12+x)x=12x+x²=x²+12x

    2)

    Le carré sur la gauche de ton exo a pour côté : x+6.

    3)

    Dans BEFC , on découpe 2 rectangles de 12/2= 6 cm de longueur et "x" cm de largeur.

    Aire AEFD=aire ABCD + aire BEFC

    Aire AEFD=x²+12x

    On a assemblé les 3 morceaux de AEFD pour faire la figure de gauche qui est un carré dont le côté mesure (x+6) cm.

    Ce grand carré de gauche a une aire de (x+6)² cm².

    Mais on se retrouve avec le carré jaune en trop dont le côté est 6 cm et l'aire : 6²=36.

    Donc :

    x+12x=(x+6)²-36

    4)

    x²+12x=45

    devient :

    (x+6)²-36=45

    (x+6)²=45+36

    (x+6)²=81

    Al-Khwarizmi ne connaissait que la racine positive donc il coninue ainsi :

    x+6=9

    x=3

    5)

    Tu fais un carré ABCD de côté "x" puis accolé un rectangle BEFC de longueur 10 cm que tu découpes en 2.

    Aire AEFD=x²+10x

    Tu formes avec les 3 morceaux un carré comme celui de gauche dont le côté vaut (x+5).

    Aire de ce grand carré : (x+5)².

    Aire du carré jaune : 5²=25.

    Donc:

    x²+10x=(x+5)²-25

    L'équation :

    x²+10x=75

    devient :

    (x+5)²-25=75

    (x+5)²=75+25

    (x+5)²=100

    Al-Khwarizmi ne connaissait que la racine positive donc il coninue ainsi :

    x+5=10

    x=5

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