- DM DE MATHS, AIDEZ MOI SVP - Bonsoir, J'aurais vraiment besoin de votre aide pour mon dm de maths s'il vous plait! (je le mets en pièce jointe) Merci beaucoup

Je te livre le fruit de ma réflexion mais ce n'est que la mienne:).......
Exercice 1 : a) Soit f(x) =sinx-x définie sur R+ car on nous dit x positif
f ' (x)=cosx-1 <0 car cosx<1 par définition
donc f(x) décroît à partir de f(0) qui est égal à 0 donc f(x) a  toujours des valeurs négatives donc sinx<x vérifié sur R+
SUR LE CLAVIER JE NAI PAS DE < OU = mais par la suite ce sera pareil , considère mes < pour des < ou = Donc ici c'est sinx < ou = à x

b)Soit g(x)=1-xcarré/2-cosx    g ' (x)=-x+sinx  REMARQUE QUE g ' (x)=f(x)
donc g ' (x)<0 donc g(x) décroît à partir de g(0)=0 donc si g  décroît à partir de g(x)=0 alors g(x) est toujours négatif
donc 1-xcarré/2<cosx  (<ou=bien-sûr)
Donc vérifié sur R+

c)Soit h(x)=x-xcube/6-sinx  h ' (x)=1-xcarré/2-cosx REMARQUE QUE h ' (x)=g(x)
donc h'(x)<0 donc h(x) décroît à partir de h(0)=0 donc h(x)<0
donc x-xcube/6<sinx
Donc vérifié sur R+

d)Soit i(x)=cosx-1+xcarré/2-x^4/24  i ' (x)=-sinx+x-xcube/6  REMARQUE QUE i ' (x)=h(x)  donc i ' (x)<0  donc i (x) décroît à partir de i(0)=0 donc i(x)<0
donc cosx<1-xcarré/2+x^4/24

e)  Conclusion :    x-xcube/6 < sinx < x    (<ou=bien-sûr comme toujours)
                           1-xcarré/2 < cosx < 1-xcarré/2+x^4/24

Exercice 2 : a) On remplace x dans les deux expressions par 0,2
et on trouve  0,198 < sin0,2 < 0,2
et                  0,98 < cos0,2 < 0.98006666
b) fais le à la calculatrice scientifique stp , je n'en ai pas sous la main
c) On s'occupe de x-sinx/xcarré
j'ai décomposé cette expression en x/xcarré + (-sinx)/xcarré=1/x + sin(-x)/xcarré    car -sinx=sin(-x)
     -1 < sin(-x) <1    car tous les sinus sont compris dans cer intervalle
     -1/xcarré < sin-x/xcarré < 1/xcarré    c'est une multiplication par 1/xcarré qui est positif donc on conserve l'ordre
1/x -1/xcarré < 1/x + sin(-x)/xcarré < 1/x+1/xcarré
(x-1)/xcarré < (x-sinx)/xcarré < (x+1)/xcarré
En 0 lim de (x-1)/xcarré=infini    et lim de (x+1)/xcarré=infini
Donc limite de (x-sinx)/xcarré=infini d'après le théorème des gendarmes

d) On s'occupe de 1-cosx/xcarré qui en 0 donne une forme indéterminée aussi
(1-cosx)/xcarré=(1-cosx)(1+cosx)/xcarré(1+cosx)
=(1-cosxcarré)/xcarré(1+cosx)
=sinxcarré/xcarré(1+cosx)    j'ai utilisé : cosxcarré+sinxcarré=1
=(sinxcarré/xcarré) fois 1/1+cosx
=(sinx/x)carré*(1/1+cosx)
limite de sinx/x=1 en xtendant vers 0 donc lim de (sinx/x)carré=1carré=1
limite de 1/1+cosx=1/2  quand x tend vers 0
Donc lim de 1-cosx/xcarré=1fois1/2=1/2 quand x tend vers 0
e)sinx/x n'est pas continue en 0 car elle n'y est pas définie
EN REVANCHE EN POSANT f(0)=1 , f ainsi prolongée est continue
En utilisant les encadrements du 1) , on remarque que au plus x se rapproche de 0 , au plus la valeur de sinx se rapproche de x
donc près de x=0 sinx/x tend vers x/x donc tend vers 1
Or 1=f(0) dit dans l'énoncé donc limite de sinx/x quand x tend vers0=f(0)
donc f est continue en 0 : c'est la définition d'une fonction continue dans ton cours . D'une manière générale , une fonction f est continue en 1 point si sa limite quand x tend vers ce point = f(ce point)

J'espère que c'est compréhensible
Reprends tout en recalculant et dis moi si ça "cloche" , n'hésite pas. Je suis largement faillible et ça me fera avancer
Bon courage dans tes études:)